予備校の難関大選抜クラスや数学オリンピック経験者のコミュニティでは、コーシー・シュワルツの不等式を巡って頻繁に交わされる議論があります。大手予備校の数学科講師は取材に対し、「模試の採点現場を見ていると、この不等式を魔法の杖のように思い込み、無理やり数式をこじつけて計算を泥沼化させる受験生が毎年一定数存在する」と現場の実態を明かします。
本番で確実に得点に結びつけるためには、高校数学での使い方詳細まとめと、定評のある公式の覚え方とテクニックを身につけておく必要があります。
公式の覚え方と係数セッティングの極意
公式の記憶には「文字の羅列」ではなく、以下のリズムと構造イメージを持つのが最も効果的です。
「（2乗の和）×（2乗の和） ≧ （積の和の2乗）」
実戦で差がつくテクニックは、「どの文字を係数 $a, b$ と見立て、どの文字を変数 $x, y$ とセッティングするか」という分配の技術です。例えば、条件式 $2x + 3y = 7$ の下で $x^2 + y^2$ の最小値を求めるケースを考えます。
- 目標：$x^2 + y^2$ の下界を求めたい。
- 既知の情報：$2x + 3y = 7$ という「1次の積の和」が存在する。
- 着想：公式の右辺に $(2x + 3y)^2$ を配置するため、係数を $a=2, b=3$ と設定する。
数式を配置すると、$(2^2 + 3^2)(x^2 + y^2) \geqq (2x + 3y)^2$ となり、$(4 + 9)(x^2 + y^2) \geqq 7^2$、すなわち $13(x^2 + y^2) \geqq 49$ より直ちに $x^2 + y^2 \geqq \frac{49}{13}$ が導出されます。1文字消去して2次関数の平方完成を行う正攻法と比べても、立式の手間と計算ミス発生率が劇的に抑制されることが分かります。
分数形（Tituの補題）への応用テクニック
数学オリンピックや難関大医学部の空間図形問題などで頻出する派生形として、通称「Tituの補題（Bergströmの不等式）」と呼ばれる変形パターンがあります。実数 $x_k$ と正の実数 $a_k$ に対し、以下が成り立ちます。
$\frac{x_1^2}{a_1} + \frac{x_2^2}{a_2} + \dots + \frac{x_n^2}{a_n} \geqq \frac{(x_1 + x_2 + \dots + x_n)^2}{a_1 + a_2 + \dots + a_n}$
分母の和と分子の和をコンパクトにまとめられるこのテクニックを知っておくと、逆数の和が絡む難解な不等式証明において、他の受験生が手も足も出ない難問を数行で突破することが可能になります。
