両者の使い分けをマスターする最短ルートは、漢字の成り立ちに立ち返ることです。
まず「官」という漢字は、建物を表す「宀(うかんむり)」と、多くの人々が寄り集まる場所を表す「𠂤(たい)」が組み合わさって生まれました。朝廷や役所など「公の機関」や「国家組織」、あるいはそこで働く「役人・身分」を意味します。さらに、そこから派生して「特定の働きを受け持つ生体機能(感覚器官など)」という意味も持ちます。
一方の「管」は、「竹(たけかんむり)」に音符である「官」を添えた形声文字です。もともとは中が空洞になった「竹のくだ(筒・笛)」を指していました。くだを通して物事をスムーズに通すこと、転じて「全体を取り仕切る」「鍵を握ってコントロールする」という動詞的な意味へと発展しました。
つまり、「官」は役所・公の立場・役割そのものという名詞的枠組みを表し、「管」は手元で取り締まり統制するアクションを表します。