3人の囚人問題の真相！確率が2分の1にならない理由とカラクリ

数学や確率論の世界において、人間の直感を鮮やかに裏切る代表格として知られる「3人の囚人問題」。一見すると単純なパズルに見えますが、プロの数学者や統計学者でさえ議論を白熱させた歴史を持つ名作パラドックスです。

「3人のうち1人が釈放される状況で、看守から処刑される1人の名前を聞かされたら、残りの自分が助かる確率は2分の1に跳ね上がるのか？」——この素朴な疑問の裏には、ベイズ統計や条件付き確率の本質が隠されています。本稿では、なぜ直感が裏切られるのか、その数学的なカラクリとモンティ・ホール問題との関係性を徹底的に解き明かします。

• 結論の真実：看守が「囚人Bは処刑される」と明かしても、質問した囚人Aの生存確率は「3分の1」のままで変わらない。
• 確率の偏り：情報をもらっていないもう一人の囚人Cの生存確率が、直感に反して「3分の2」へと跳ね上がる。
• 理由と構造：看守の回答行動に生じる「選択の偏り（情報の非対称性）」が原因であり、ベイズの定理で論理的に証明される。

【問題のおさらい】3人の囚人問題とは？直感を狂わせるルールの全貌

まずは、パズルの基本設定を整理しておきましょう。舞台はとある刑務所です。

ある国で、3人の囚人（A、B、C）が収監されていました。王の恩赦により、「3人のうち1人だけが釈放（恩赦）され、残りの2人は処刑される」ことが決まりました。誰が助かるかは公平な抽選で決められ、それぞれの生存確率は平等に3分の1です。ただし、誰が釈放されるかを知っているのは看守だけで、囚人たちには知らされていません。

処刑前夜、死の恐怖に耐えかねた囚人Aは、看守に次のように持ちかけます。

「看守さん、BとCのどちらか少なくとも1人は確実に処刑されるはずです。私自身の運命（Aがどうなるか）は言わなくていいので、BかCのうち、処刑される方の名前を1人だけ教えてくれませんか？」

看守は少し考え、「それなら君自身の運命を明かすことにはならないな」と納得し、「Bは処刑される」と小声で教えてくれました。

これを聞いた囚人Aは、心の中で歓喜します。「これで処刑される候補からBが消えた。生き残るのは私（A）かCのどちらかだ。私の助かる確率は3分の1から2分の1（50%）に上がったぞ！」

しかし、確率論が導き出す3人の囚人問題の答えは無情です。Aの生存確率は3分の1のまま全く上がっていません。それどころか、何も聞いていない囚人Cの生存確率が3分の2（約66.7%）に倍増しているのです。

【なぜ1/2ではないのか】ベイズの定理と条件付き確率で解き明かすカラクリ

「2人のうちどちらか1人なのだから、半々の確率（1/2）になるはずだ」と考えるのが自然な人間の直感です。では、3人の囚人問題はなぜ直感と異なる結果を生むのでしょうか。その鍵を握るのが「条件付き確率」と「ベイズの定理」です。

看守の発言という「新たな情報（条件）」が得られたとき、全体の確率がどのように再配分されるのかを検証してみましょう。

最初に恩赦を受ける人のパターンは以下の3通りで、各確率は1/3です。

• ケース1：Aが助かる確率（1/3）
  BもCも両方処刑されます。看守は「B」と言っても「C」と言っても嘘になりません。看守がコインを投げるなどしてランダムに名前を選ぶとすると、看守が「B」と答える確率は1/2です。
  →「Aが助かり、かつ看守がBと答える確率」＝ 1/3 × 1/2 ＝ 1/6
• ケース2：Bが助かる確率（1/3）
  処刑されるのはAとCです。Aに対して「Bが処刑される」と嘘をつくことはできませんし、「Aが処刑される」と答えることもルール違反です。看守は確実に「C」と答えるしかありません。
  →「Bが助かり、かつ看守がBと答える確率」＝ 1/3 × 0 ＝ 0
• ケース3：Cが助かる確率（1/3）
  処刑されるのはAとBです。看守はAの処刑を口にできないため、必ず「Bが処刑される」と答えます。
  →「Cが助かり、かつ看守がBと答える確率」＝ 1/3 × 1 ＝ 1/3（2/6）

看守が「Bは処刑される」と発言する事象全体の確率は、ケース1（1/6）＋ ケース2（0）＋ ケース3（2/6）＝ 3/6（1/2）となります。

ここから、看守が「B」と答えたという条件のもとで、各人が助かる条件付き確率を計算します。

囚人Aが助かる確率： (1/6) ÷ (3/6) ＝ 1/3
囚人Cが助かる確率： (2/6) ÷ (3/6) ＝ 2/3

数式が示すとおり、看守の言葉によってAの生存確率は1ミリも変動せず、情報を受け取っていないはずのCに確率が集中していることがわかります。