結論から言えば、アース線をコンセントに繋がなくても、電源プラグさえ差し込めば電子レンジや洗濯機は通常どおり作動します。アース線は電力を供給するための線ではなく、電気の逃げ道を作るための安全装置だからです。
しかし、「動くから問題ない」と判断して放置するのは極めて危険な誤解です。アース線が接続されていない状態は、いわば「エアバッグやシートベルトを外したまま車を運転している状態」と同じです。普段は何事もなく走行できても、ひとたび内部基板の劣化や水濡れによる絶縁破壊が起きれば、逃げ場を失った電気が機器の金属製ボディ全体に帯電し、触れた瞬間に命に関わる大事故へ直結します。