円の方程式を攻略する第一歩は、「標準形」と「一般形」という2つの表現形式を用途に応じて自在に使い分けることです。
中心の座標が $(a, b)$、半径が $r$（ただし $r > 0$）である円の方程式は、三平方の定理（ピタゴラスの定理）を座標平面上に適用することで次のように導かれます。
【円の方程式の標準形】
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$
この標準形の最大の強みは、円の中心と半径のデータが直感的に読み取れる点にあります。グラフを描く際や図形的な位置関係を考える問題では、まずこの標準形を目指すのが鉄則です。
一方で、標準形を展開して整理した形が次の一般形です。
【円の方程式の一般形】
$x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$
一般形から中心の座標や半径を求めるには、$x$ と $y$ についてそれぞれ平方完成を行う作業が必須となります。具体的には、$(x + \frac{l}{2})^2 + (y + \frac{m}{2})^2 = \frac{l^2 + m^2 - 4n}{4}$ と変形することで、中心 $(-\frac{l}{2}, -\frac{m}{2})$、半径 $\frac{\sqrt{l^2 + m^2 - 4n}}{2}$ が導き出せます。このとき、右辺の値が正（$l^2 + m^2 - 4n > 0$）でなければ実体のある円として成立しない点には注意が必要です。
