二点間の距離の公式と求め方｜平面から3次元・緯度経度計算まで網羅

数学の試験対策はもちろん、ゲーム開発やデータ分析、地図アプリの実装現場に至るまで、基礎知識として頻繁に登場するのが「二点間の距離」の計算です。学生時代に習ったはずなのに、いざ計算しようとすると「ルートの中にマイナスが入るんだっけ？」「3次元や緯度経度の場合はどう計算するの？」と迷ってしまうケースは少なくありません。

平面座標における基本公式の成り立ちから、高校数学で扱う3次元空間やベクトル表現、さらにはPythonやJavaScript、Excelを用いた実装方法まで、実務や学習ですぐに役立つ知識を整理してお届けします。

• 要点1：平面上の二点間の距離は「三平方の定理」がベースであり、2点間のX座標の差とY座標の差をそれぞれ2乗して足し、平方根を取ることで求まる。
• 要点2：3次元空間やベクトルの距離計算も基本構造は同一であり、Z成分（次元）を1つ足すだけで直感的に拡張できる。
• 要点3：プログラミング言語での実装やExcelでの自動計算に加え、地球上の緯度経度から距離を出す「ヒュベニの公式」まで幅広い応用が可能。

【基本】平面座標における二点間の距離の公式と三平方の定理による証明

2次元平面における2点 $A(x_1, y_1)$ と $B(x_2, y_2)$ の距離 $d$ を求める公式は、次のように定義されます。

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

この公式の根本にあるのは、中学数学で学ぶ三平方の定理（ピタゴラスの定理）です。点AからX軸に平行な線を引き、点BからY軸に平行な線を引いて交わった点をCとすると、直角三角形ABCが完成します。底辺ACの長さは $|x_2 - x_1|$、高さBCの長さは $|y_2 - y_1|$ となり、斜辺ABの長さ $d$ は $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$ で表せます。両辺の平方根を取ることで、見慣れた距離の公式が導かれます。

差を2乗するため、$x_1$ と $x_2$ のどちらを先に引いても計算結果は変わりません。符号の間違いを過度に心配する必要がない点も、この計算の扱いやすい特徴です。

【高校数学】3次元空間やベクトルを使った二点間の距離の求め方

高校数学で登場する空間座標やベクトルにおいても、二点間の距離の考え方は平面の延長線上にあります。3次元空間の2点 $A(x_1, y_1, z_1)$ と $B(x_2, y_2, z_2)$ の距離 $d$ は、以下のようにZ軸の成分をそのまま追加するだけで求められます。

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

これは直方体の対角線の長さを求める計算と同じ原理です。まず底面で三平方の定理を使い、続いて高さを含めた直角三角形で再び三平方の定理を適用することで証明できます。

また、ベクトルを用いた表現では、位置ベクトル $\vec{a}$、$\vec{b}$ に対して、二点間の距離は差のベクトルの大きさ $|\vec{b} - \vec{a}|$ として記述されます。物理シミュレーションや3Dグラフィックスのプログラミングでは、このベクトル形式の距離計算が標準的に使われています。