ルート（根号）を含む実数の場合、語呂合わせによる無理数の近似値（$\sqrt{2} \fallingdotseq 1.4142$, $\sqrt{3} \fallingdotseq 1.732$, $\sqrt{5} \fallingdotseq 2.236$ など）だけに頼っていると、$\sqrt{7}$ や $\sqrt{38}$、あるいは複雑な有理化を伴う式が出現した瞬間に手詰まりを起こします。
高校数学の「数と式」で確実に得点するための整数部分と小数部分の求め方は、公式として「平方数で不等式を挟む手順」を体系化することです。
例えば、$\sqrt{11}$ の整数部分と小数部分を求める手順は次の通りです。
- 根号の中身を前後の「平方数（整数の2乗）」で挟む：
$3^2 = 9$、$4^2 = 16$ であるため、$9 < 11 < 16$ が成り立ちます。 - 各辺の正の平方根を取る（不等式と整数部分の特定）：
$\sqrt{9} < \sqrt{11} < \sqrt{16}$ より、$3 < \sqrt{11} < 4$ と判明します。 - 整数部分を確定させる：
$3$ より大きく $4$ より小さい実数であるため、$\sqrt{11}$ の整数部分は $3$ です。 - 小数部分を定式化する：
小数部分は「元の数 $-$ 整数部分」で定義されるため、小数部分は $\sqrt{11} - 3$ と表記します。
無理数は無限に続く循環しない小数であるため、小数部分を「$0.3166\dots$」のように数値で書き下すことは不可能です。「元の無理数から整数部分をそのまま引き算した式で表す」という抽象的な表現様式に慣れることが、脱落を防ぐ最初の関門となります。
さらに頻出となるのが「分母の有理化と整数部分」の融合問題です。例えば次のような問題です。
【実践例】 $\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ の整数部分 $a$ と小数部分 $b$ を求めよ。
この場合、いきなり $\sqrt{5} \fallingdotseq 2.236$ を代入して $\frac{1}{0.236}$ の計算を始めてはなりません。必ず分母の有理化を先に行います。
$$\frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2$$
式が整理された後、$2 < \sqrt{5} < 3$ であることから、各辺に $2$ を加えて $4 < \sqrt{5}+2 < 5$。よって整数部分 $a = 4$、小数部分 $b = (\sqrt{5}+2) - 4 = \sqrt{5}-2$ と鮮やかに求まります。基本手順の徹底こそが最大の武器です。
