三元一次方程式の解き方において、最も安全かつ再現性の高い基本戦略は「3元の世界から2元の世界へ落とし込み、最終的に1元の1次方程式にする」という段階的消去です。以下の3つの手順をルーティン化することで、思考のブレを完全に排除できます。
ここでは、次の三元一次連立方程式を例に具体的な途中式の書き方を整理します。
① $x + 2y - z = 4$
② $2x - y + z = 7$
③ $3x + y + 2z = 17$
ステップ1：消去するターゲット文字を1つに決める
まず最初に行うべきは、3本の式を見渡し「最も消去しやすい文字」を決定することです。基準は「係数の絶対値が1である文字」です。上記の例では、$z$ の係数が ①で $-1$、②で $+1$ となっているため、$z$ を消去対象に設定するのが最適解となります。
ステップ2：2組のペアを作り、二元一次連立方程式を導出する
次に、3本の式から「①と②」「②と③」のように異なる2つのペアを作り、それぞれでステップ1で決めた文字（$z$）を加減法によって消去します。
まず、①式と②式をそのまま足し合わせます。
$(x + 2y - z) + (2x - y + z) = 4 + 7$
$3x + y = 11$ ・・・ ④
続いて、②式を2倍して③式と引き算を行い、$z$ を消去します。
② $\times 2$ より：$4x - 2y + 2z = 14$ ・・・ ②'
②' から ③ を引くと：
$(4x - 2y + 2z) - (3x + y + 2z) = 14 - 17$
$x - 3y = -3$ ・・・ ⑤
ステップ3：導いた2式を解き、元の式に代入して完答する
手に入った ④ と ⑤ は、見慣れた二元一次連立方程式です。これを解くことで $x$ と $y$ を確定させます。
④ より：$y = 11 - 3x$
これを ⑤ に代入（代入法）：
$x - 3(11 - 3x) = -3$
$x - 33 + 9x = -3$
$10x = 30 \implies \mathbf{x = 3}$
$y = 11 - 3(3) \implies \mathbf{y = 2}$
最後に、求まった $x = 3, y = 2$ を最も計算が簡単な ①式に代入します。
$3 + 2(2) - z = 4$
$7 - z = 4 \implies \mathbf{z = 3}$
したがって、求める解は $(x, y, z) = (3, 2, 3)$ となります。このように「消去対象の固定 $\to$ 2元への縮小 $\to$ 代入による復元」という一本道を崩さないことが最大のミス防止策です。
