国公立二次試験や難関私大の数学3二次曲線の媒介変数表示を巡る問題では、単なる公式の当てはめにとどまらない深い理解が試されます。代表的な双曲線の媒介変数表示の入試問題パターンを把握しておきましょう。
1. 接線と漸近線の交点が作る三角形の面積
双曲線上の点 $P(a\sec\theta, b\tan\theta)$ における接線の方程式を立て、2本の漸近線 $y = \pm \frac{b}{a}x$ との交点を求める典型問題です。交点の座標を計算すると、パラメータ $\theta$ が綺麗に相殺され、接点の位置に関わらず三角形の面積が常に一定値 $ab$ になるという美しい性質が導かれます。
2. 媒介変数で表された動点の軌跡と通過領域
連立方程式から媒介変数を消去する際、「パラメータの実数条件」を吟味させる設問です。特に $\tan\theta$ と $\sec\theta$ を用いる場合、$\theta \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ の条件から除外すべき点（漸近線方向の無限遠）が存在しないかを確かめる論述力が合否を分けます。
