10番台を超えた大きな2桁同士の計算でも、特定の条件を満たす場合には驚くべきショートカットが存在します。その代表例が十の位が同じ掛け算の裏技であり、特に「十の位が同じで、一の位の合計が10になる組み合わせ」は数秒で解ける鉄板の公式です。
具体例として「63 × 67」を計算してみます。この式は「十の位がともに6」「一の位が3＋7＝10」という条件を完全に満たしています。
【計算の2ステップ】
① 上の2桁：十の位の数「6」と、それに1を足した数「7」を掛けます。
6 × (6 ＋ 1) ＝ 6 × 7 ＝ 42
② 下の2桁：一の位同士「3」と「7」を掛けます。
3 × 7 ＝ 21
③ ①と②をそのまま並べます。
答え：4221
「42」の後ろに「21」をつなげるだけで、一瞬で「4221」という正解が得られます。この一の位の和が10の掛け算公式は、ビジネスの現場における概算や頭が良くなる暗算テクニックとして広く親しまれています。
代数的に証明すると、十の位を $N$、一の位をそれぞれ $a$ と $b$（ただし $a + b = 10$）と置いたとき、
$$(10N + a)(10N + b) = 100N^2 + 10N(a + b) + ab$$ $a + b = 10$ を代入すると、 $$= 100N^2 + 100N + ab = 100 \times N(N + 1) + ab$$
となり、上位桁が $N(N + 1)$、下位桁が $ab$ になることが厳密に証明されます。「85×85＝7225（8×9＝72、5×5＝25）」のように、末尾が5の2乗計算が暗算できるのも全く同一の構造によるものです。
