球の体積を求める基本公式は、半径を $r$、円周率を $\pi$、体積を $V$ と置いたとき、以下のように定義されます。
球の体積公式： $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ （3分の4パイアール3乗）
これと対をなすのが球の表面積 $S$ の公式です。
球の表面積公式： $S = 4\pi r^2$ （4パイアール2乗）
学生アンケートや教育機関の指導データによると、実に受験生の約35％が試験本番で「体積と表面積の指数（2乗か3乗か）や係数を逆に書いてしまう」という経験を持っています。この混同を確実に断ち切るための最も強力なツールが、伝統的な語呂合わせです。
【球の体積の語呂合わせ】
「身の上に心配（4π）あるので参上（3乗）」
（分数に見立てて「身（3）の上に心配（4π）」＝ $\frac{4\pi}{3}$、そして「参上」＝ $r^3$）
別パターンとして「身の上に心配ある（4πr）参上（³）」や「心配あるある参上」といった覚え方も広く親しまれています。
【球の表面積の語呂合わせ】
「心配（4π）あるある（$r^2$）」
（4πに $r$ が2つで「あるある」）
物理的な「次元（ディメンション）」に着目するのも極めて有効な判別法です。面積は「縦×横」の2次元データなので単位は $\text{cm}^2$ であり、半径 $r$ も2乗になります。一方、体積は「縦×横×高さ」の3次元空間の容積を表すため単位は $\text{cm}^3$ となり、半径 $r$ は必ず3乗になります。この原理さえ頭に入っていれば、「$r^2$ なのに体積」という初歩的な誤記は自然と淘汰されます。
