手軽に使える便利なテクニックだからこそ、「なぜ一の位が偶数で、各位の和が3の倍数だと6で割り切れるのか」という理論的根拠を理解しておくことが本質的な応用力につながります。
このアプローチの土台となるのが「素因数分解による倍数判定」です。整数6を素因数に分解すると、以下のようになります。
6 ＝ 2 × 3
ここで重要なのは、2と3が共に素数であり、「互いに素（最大公約数が1）」であるという関係性です。「ある整数が互いに素である整数aと整数bの両方の倍数であるとき、その整数はa×bの倍数である」という整数論の絶対的な定理が存在します。つまり、2の倍数と3の倍数に共通する性質を兼ね備えている数こそが、必然的に6の倍数となるのです。
2の倍数の判定が一の位だけで完結する理由は明白です。10進法において10、100、1000…といった位の底はすべて10の累乗であり、10は「2 × 5」で表されるため、十の位より上の部分は無条件で2の倍数となります。したがって、末尾の1桁さえ偶数であれば数全体が2で割り切れます。
一方、「各位の和が3の倍数になる」というルールについては、数学的な文字式を用いて簡単に証明することができます。例として4桁の整数（abcd）を各位に分解して展開してみましょう。
整数Nを「1000a + 100b + 10c + d」（a, b, c, dは整数）と置きます。この式を「3の倍数」のパーツと「各位の和」のパーツに分解して書き直します。
N ＝ (999 + 1)a + (99 + 1)b + (9 + 1)c + d
N ＝ 999a + a + 99b + b + 9c + c + d
N ＝ (999a + 99b + 9c) + (a + b + c + d)
N ＝ 3(333a + 33b + 3c) + (a + b + c + d)
前方のブロックである「3(333a + 33b + 3c)」は、全体が3でくくられているため確実に3の倍数です。したがって、元の整数N全体が3で割り切れるかどうかは、残された後方の式「(a + b + c + d)」、すなわち「各位の和」が3の倍数であるかどうかに完全に依存することになります。
この2つの数学的事実が組み合わさることで、「偶数であり、かつ各位の和が3の倍数」というエレガントな判定法が完成します。
