結論から言えば、目上の人や上司に対して「あとは頼みます」と伝えるのはマナー上、失礼にあたる表現です。「頼みます」は動詞「頼む」に丁寧の助動詞「ます」をつけた形ですが、本質的には同等かそれ以下の立場にある相手に対して使われる言葉だからです。
ビジネスの現場において、目上の人に「頼む」という動詞をそのまま使うと、「指示を出されている」「自分の仕事を一方的に押し付けられた」という印象を与えかねません。特に「あとは」という言葉が頭につくことで、残った面倒な作業を丸投げして自分だけ立ち去るような響きが生じてしまいます。
たとえ日頃から関係性が良好な上司であっても、公の場やテキストベースのやり取りで「あとは頼みます」と送るのは避けるのが賢明です。敬意を正しく示すためには、相手を立てる敬語表現へと置き換える配慮が求められます。